期末上繳報告啊，不知道要寫多少才對得起自己。理解正確性不敢保證，相當可怕。

單詞概要

• Computed Tomography - 電腦斷層掃描 (X 光)，簡稱 CT
• Shepp-Logan filter - 影像去噪中，一種運算操作
• Delaunay - 計算幾何中 Delaunay Triangulation
• ODT - optimal Delaunay Triangulation
• Tetrahedron - 四面體
• Isosufrface - 等價曲面
• Truncate - 切去頭端
• Hausdorff distance - 空間中，集合之間的距離描述 wiki
• Marching cubes - 用於 CT 模型，重建時的建構 3D 時，根據取樣點得到的最小構造單位。
• QEM - Quadric Error Mactrics

本文

The Sinogram Polygonizer for Reconstructing 3D Shapes 這篇論文主要拿 Grid-base 掃描重建方法以及根據取樣點重建 3D 模型的算法探討。

首先從離散取樣中重建，最基礎的做法是根據 z-index 作切割，得到 xy 平面，在其上作 Grid-base 網格狀的取樣，得到座標 (x, y, z) 是否在該物體內部。

當取樣數量越多時，密集程度越高，能造就的邊緣就越明顯。藉由 Grid-base 取樣的缺點在於邊緣的凸顯仍然不夠明確於三角化，取樣點的數量必須非常多，才能表示非平行三軸的邊緣。

從 CT 圖中，掃描資料為數張正弦圖 (sinogram)，將一個物體放置於轉盤上，轉動轉盤將 X 光照射上去，根據物體的阻射程度得到正弦圖，相當於是光線投影到平面的強度 (CT value)。當一個物體只由一種材質構成時，其阻礙程度與阻礙光線的長度成線性關係，如此一來 CT value 就能有效地反應在物體表面的距離。

這裡補充一點，通常物體不會只由一個材質構成，因此在某些重建工作時會特別弱，如人體掃描重建，則會在眼睛材質上難以得到好的效果。阻礙能力會擴散到其他的正弦圖上，在複合材料的重建工作則會相對地困難。

CT 圖存在些許的干擾，受到鄰近材質的阻射影響。看到網路上文章寫到，即便現代的降噪算法相當厲害，對於醫院普遍使用的成像仍然使用幾十年前的算法，其最重要的原因是擔憂降噪算法捨棄掉的部分到底是不是正確的，去掉資訊若是重要的反而會造成判斷失誤，因此學術界使用 CT 圖的降噪算法仍然不普及於醫學界。

CT

目前 Shepp-Logan filter 相當好用，在 CT 去噪效果受到肯定！公式如下：

$$f(p) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \alpha(R_\theta p)^{2} S_{\theta}(P(R_{\theta} p)) d \theta \\ S_{\theta}(q) \leftarrow \int_{-\infty }^{\infty} {\beta(\tilde{q}(x)) S_{\theta}(\tilde{q} (x)) h(x - (q)_{x})} dx \\ h(t) = 2 / (\pi^{2} \delta^{2} - 4 t^{2}) \\$$ $S_{\theta}(q)$ 表示在轉盤角度為$\theta$ 時成像於 q 點的數值$\beta(q) = cos(\angle qso)$，點 q 連線到光源 s、再連線到圓盤圓心點 o。並且$\tilde{q}$ 限定為與點 q 具有相同的 y 值，就是說對水平方向上鄰近點數值去噪$\delta$ 為取樣的像素大小於成像畫面。

從數學公式中看出，受到鄰近點$\tilde{q}$ 影響與光源的偏角差異、與點 q 的距離呈現的關係。

#### 補充 CT 重建 ####

CT 重建方法 中，存在三種常見的方式

迭代法 反投影法 backprojection
濾波反投影法 filtered backprojection

在掃瞄資料中，根據不同角度進行掃描投影，會得到數張 2D 影像，對於實際物體離散取樣，把每一個樣本都當作一個變數 $x_{i}$，根據模擬的方式，可以得到好幾條方程式，解出方程式後，就能知道每個位置上是否有實體 (在物體內部)。但是這樣的效能並不好，會有成千上萬的變數和方程式，甚至有可能發生多組解。


##### 迭代法 #####

迭代法提供一個逼近方法，類似模擬退火法的那種梯度迭代，每一次迭代逐漸將變數數值增加，增加後與實際投影比較，不斷地逼近投影實際值，捨棄掉不合法的數值，每迭代一次讓解更加地接近，當誤差小於某個定值後即可停止。這種作法通常會很慢，但迭代過程中可以加入很多彈性的參數變化，彈性較高。

##### 反投影法 #####

反投影法則是將投影值結果反投影回去，投影的 2D 影像上的某一個點的數值，會反投影到射線上的每一個點，多次反投影後。若該位置存在於物體中，則貢獻於投影像的次數會很多，因此反投影的累加的值也會比較高。接著給定閥值、誤差修正來判斷，效果會更為顯著。反投影法概念上非常簡單，但在邊緣的結果會很模糊。

##### 濾波反投影法 #####

濾波反投影法這部分不是很理解，看起來是先利用 卷積 (Convolution) 操作，再利用傅立葉卷積的反變換，變換過程中需要一個濾波器協助，反變換回來後，再進行反投影法。在傅立葉反變換中需要濾波器，因此選擇濾波器變得相當重要，本篇論文選的是 Shepp-Logan filter 來完成。濾波反投影法的優點是在於輪廓清楚，但會發生 吉布斯現象 (Gibbs phenomenon)，逼近原圖時，不連續的函數截面附近會發生震盪。

## 接續 ##

在濾波後，反投影後得到 CT value $f(p)$。當然 $f(p)$ 是一個連續函數的積分，事實上處理時離散的 (因為機器再怎麼精密，齒輪轉角也不會是連續，就看齒數多寡來決定)。

論文中用了 迭代法 和 濾波反投影法 重建比較，可以得到非常相似的結果。來確認使用的儀器是相當可靠的精準度。

接下來要進行建模，簡單會具有以下幾個步驟。

1. 可以決定要用幾個四面體構成。
2. 三角網格藉由二值化 (CT value 來判定是在物體中還是外部) 抓取，並且加入四面體中。
3. 三角網格到等值曲面的 QEM (Quadric Error Mactrics) 要最小化。
4. 三角網格上的點座標，移動距離購小的時候，算法停止迭代。否則返回第二步，繼續鬆弛新的節點。

第一步進行四面體構成時，通常會採用 * Delaunay Tetrahedralization (相對於 2D 平面的 Delaunay Trianglution，Delaunay Trianglution 是由 2D Voronoi Diagram，那麼 Delaunay Tetrahedralization 就是由 3D Voronoi Diagram 搭建完成)，事實上還有數種建模的方法 (如 Marching cubes 之類的)，稍後有機會會提及到。但不管一開始選定的四面體採用哪種策略，經由往後的迭代，將會修整到差不多 QEM。

### 邊緣擷取 ###

對於每一個四面體，找到四面體的重心$g_{i}$ 並且計算 CT value $f(g_{i})$

對於相鄰的四面體，計算 $Tiso= (f(gi)+f(gj))/2$ 接下來要找等值曲面 $Tiso$，找到一個點 p 位於等值曲面上，並且 p 在 gi, gj 的連線上。對於 p 所在的等值曲面上計算法向量 $n_{k}$，等下要用來計算 QEM 用的。

QEM

下篇待續