接續上一篇，接下來會有很多數學，自己也是一知無解狀態。

QEM

QEM 方程如下，當找到許多在等值曲面上的 $p_k$ 時，接著要找到一個最小 $v$ 參數為滿足目標方程

$v^{M} \leftarrow \text{arg } \underset{v}{min} \sum_{k} (n^t_{k} (v - p_{k}))^2$

為了找到這個 $v$

$v^M \leftarrow v^M + Q^+ (q - Q v^M)$

其中矩陣$Q = \sum_{k} n_{k} n^{t}_{k}$，

使用 SVD ( singular value decomposition )，奇異值分解去找解，這個計算好像在巨量資料中也存在 SVD，這世界太可怕了！ )。 在找到 $v^M$ 之後，進行簡化模型的縮點 (減少節點數)。經由這一步，可以更貼近物體的輪廓線，來強化邊緣的存在。

為了減少退化三角形跟三角網格的品質，可以藉由 Delaunay Tetrahedralization 再刷新一次。修改、刪除的點其實並不多於全局 (大多都是邊緣？)，那麼可以利用鬆弛的方式進行更新會比全局刷新還來得快速。

實戰

接下來這篇論文的作者，要進行實戰比較 (一起來吸收別人怎麼去驗證、統計、比較！實驗方法也是相當重要的。)，查看每一次迭代的是否可以的過程、速度。

誤差評定

利用模擬的模型 (幾何模型構成，拿真物要找到物體表面的方向量有點麻煩)，來看梯度方向的準確性，簡單來說就是拿實際結果與實驗結果中的一個點，於表面上的法向量夾角作為誤差大小。

$\varepsilon_{n}(p) = \text{arccos } (n(p)^t m(p))$

梯度估計

即使是誤差，平滑也是好事。梯度越小越平滑。

接著它拿兩個物體 sphere 和 fandisk mesh (球體和一個 ???) 進行測試，看來在那些特殊的地方的誤差。算法可能會在某些特殊邊緣、平面的運行效果不好 (算法擅長於那些特徵計算、不善長什麼，來釐清這一點)。

視覺化時，利用下列二種方式凸顯梯度 central differences、Sobel operator (索貝爾運算就是在影像處理運用中，檢測邊緣、圖像梯度用的)。論文作者接下來提供一的新穎 CT value 的計算公式，與一般傳統的不同，讓這個誤差梯度下降。經由上面兩種方式的梯度表示，發現論文作者提供的這種會再更好一點點。

討論

• 提供一個更準確的 CT value 的計算方式
• 動態運作 ODT, QEM 的方式

比較 Grid-Based

拿其他的建造方案，如 Grid-Based Polygonization，進行邊緣銳利比較。使用 Hausdorff distance 比較好壞，當然地 Grid-Based 沒對齊好，基本上贏不過三角化的版本！Grid-Based 取樣點夠密集才能勝過 vary triangle 的建模吧！在大多共平面的狀況下，三角形建模的方式需要頂點數非常少。

時間消耗

由於精準度上的調校，提出的方法比起常規的建模是消耗更多時間，但 CT 掃描數據的時間通常需要 10min 到 1hr，但是提出的方法比掃描時間還快。

也就是說讀取資料很慢，處理速度不用這麼快也沒關係，算起來有種 $O(n)$ 的效能。

空間消耗

由於過程中需要大量的矩陣、附加值於記憶體中，會消耗上 GB 的使用空間來維護操作。但現代電腦的記憶體可以超過 10GB 以上，因此這個缺點可以忽略不計。

實作細節

為了加速運行，特別將物體表面周圍的取樣多、密集一點，對於其他地方的取樣少點，如此一來計算量會少很多。

插值

在 $Tiso= (f(gi)+f(gj))/2$ 中提到插值法，但插值法有很多種，如 tricubic interpolation、bicubic interpolation … 等，如果選擇別種的插植法，效果會不會比較好呢？經過它們的梯度估算方法，他們所提到的插值法會稍微好一些。

結論

提出一個可以用 CT 圖去建模的方法，仰賴的不是三維空間 volumetric data，並且可以提供一個更高精度的建模方法，用少許的三角形就能構造出相當銳利的結果。

1. 以上都是建立在單一素材上，如果由複合的素材構成，可能是一個無法解決的問題。
2. 對於光束敏感的物體，CT 的建造方法可以支持更好。
3. 如果一開始的四面體不夠完善，有可能無法捕抓到邊緣。自適應的 meshing 也許能解決這問題。

提出一個速度慢、空間多的算法，但是現代電腦記憶體夠，速度慢沒關係，比輸入還快就行了